Nilsonjosemachado.net

14. Geometrias não-euclidianas: uma abordagem ingênua
Nílson J. Machado/Marisa O. da Cunha
A Geometria trata de pontos, retas, planos, curvas, figuras ou formas planas e espaciais, relações entre os elementos componentes de tais formas, incluindo cálculos de comprimentos, áreas, volumes, relações de semelhança, etc. etc. etc. Quatro mil anos antes de Cristo, a cultura egípcia já evidenciava um notável conhecimento geométrico, construído tanto a partir das necessidades práticas de delimitação e medição das áreas cultiváveis, periodicamente invadidas e fecundadas pelo rio Nilo, quanto fomentado pelos projetos de construções faraônicas em sentido estrito – as conhecidas pirâmides, por exemplo. Etimologicamente, a palavra geometria deriva de geo (terra) e de metrein (medida); desde a origem, portanto, o conhecimento geométrico esteve associado tanto a medições realizadas sobre a superfície da Terra, quanto a medidas referentes à Terra em sentido mais amplo. No que segue, tal associação desempenhará um papel fundamental, sobretudo se mantivermos na memória o fato de que a Terra já foi considerada plana, ou então, fixa, no centro do Universo, muito antes de ter sua imagem reduzida à de um simples planeta, orbitando rotineiramente em torno do Sol, por volta do século XV ou XVI. demonstrações, por uma razão muito simples: foi o primeiro tema a ser apresentado como um sistema formal. A apresentação formal de um tema significa organizá-lo de tal modo que toda idéia apresentada seja ou um conceito primitivo, intuído diretamente a partir da experiência, ou então seja claramente definida a partir de conceitos primitivos, ou de definições anteriormente formuladas. Naturalmente, espera-se que o número de conceitos primitivos seja reduzido, restando aos demais conceitos a expectativa de uma definição precisa. No que se refere à argumentação, na apresentação de um tema como um sistema formal exige que todas as afirmações sobre os conteúdos estudados sejam demonstráveis logicamente a partir de um pequeno número de proposições inicialmente aceitas como verdadeiras, que são chamadas postulados. Foi Euclides, cerca de 300 anos antes de Cristo, quem organizou o conhecimento geométrico como um sistema formal, sistematizando uma grande quantidade de resultados dispersos e desarticulados, ainda que amplamente conhecidos. Na apresentação de Euclides, os conceitos de ponto, reta e plano eram primitivos; já ângulos, triângulos, paralelismo ou perpendicularidade eram conceitos definidos. Proposições como “Por dois pontos distintos passa uma única reta”, ou então, “Todos os ângulos retos são iguais” constituíam os postulados; era perfeitamente demonstrável, ou seja, era um teorema, o fato de que “A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o“. A Geometria assim sistematizada por Euclides – e conhecida, hoje, como Geometria Euclidiana - tornou-se, desde então, um modelo de organização do conhecimento em praticamente todas as áreas, por mais de 2000 anos, como bem ilustram a Mecânica de Newton, que tinha como conceitos primitivos o tempo e o espaço, por exemplo, e a Ética de Spinoza, na segunda metade do século XVII, que apresentava postulados como “O homem pensa”, ou então, “O conhecimento do efeito depende do conhecimento da causa”. formulações/traduções, mas em todas elas, um fato era perfeitamente notável desde o início: havia um deles que parecia destoar dos demais. Ao lado das quatro proposições iniciais P1 - “É possível traçar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer outro” P2 – “Qualquer segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente numa linha reta” P3 – “Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se traçar um círculo de centro no ponto dado e de raio igual à distância dada” P4 – “Todos os ângulos retos são iguais entre si” aparecia uma quinta afirmação que era a seguinte: menor do que dois ângulos retos, então as primeira reta em que se encontram os dois A idéia subjacente à fixação dos postulados é que eles fossem de tal modo evidentes que ninguém deles duvidasse. E é a partir deles que todos os fatos geométricos, todos os teoremas deveriam ser demonstrados. Entretanto, a análise da afirmação contida no postulado P5 perturbou muitos matemáticos desde o início, uma vez que ele parecia menos evidente que os demais, anômalo em algum sentido que não era explicitamente percebido. Na verdade, o postulado P5 parecia um teorema, como os inúmeros demonstrados por Euclides, e não faltaram candidatos, ao longo dos séculos, a tentarem demonstrá-lo a partir dos outros quatro. Como essa idéia se mostrou impraticável, os esforços se dirigiram para a substituição de tal postulado por outro, de aparência mais simples, de veracidade mais evidente. Tais iniciativas revelaram que existem muitos outros princípios geométricos capazes de substituir o postulado P5 sem que o sistema formal euclidiano perca qualquer de seus teoremas. A proposição reta só se pode traçar uma única paralela à é um desses substitutos, proposto pelo matemático inglês Playfair, em 1795, que se tornou mais popular que o postulado original, sendo conhecido como “Postulado das Paralelas”; juntamente com os outros quatro postulados, ele passou a compor o chamado “sistema euclidiano”. No século XVIII, o matemático italiano Sacchieri fez outro tipo de tentativa: em vez de procurar demonstrar o postulado P5 a partir dos demais, ou de propor algum substituto mais simples, investigou a independência deste postulado em relação aos outros quatro. Seu plano era admitir os quatro primeiros postulados e negar o P5, para efeito de discussão, considerando o novo sistema formal resultante. Naturalmente ele esperava, com este novo sistema, chegar a absurdos, a contradições que revelassem a necessidade formal do postulado P5. No entanto, curiosamente, Sacchieri não obteve o que esperava, não deparou com qualquer contradição formal, tendo, isto sim, demonstrado muitos resultados considerados “estranhos” e que se caracterizariam, mais tarde, como teoremas de uma nova geometria. Foi somente no século XIX que a independência do quinto postulado de Euclides em relação aos demais foi estabelecida. Trabalhando independentemente, e sem prévio conhecimento dos trabalhos de Sacchieri, o alemão Gauss, o russo Lobachevsky e o húngaro Bolyai vislumbraram a possibilidade destas geometrias alternativas sem contradições evidentes. Gauss não divulgou logo seus trabalhos, tendo hesitado talvez por pressentir precariamente o extraordinário significado deste fato. Lobachevsky e Bolyai assumiram claramente seus resultados e publicaram versões independentes deste novo tipo de Geometria. Na geometria euclidiana, postulando-se o fato de que por um ponto fora de uma reta é possível traçar uma única paralela à reta dada (P5), é possível demonstrar-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180o. Já Lobachevsky, admitindo como postulado que por um ponto situado fora de uma reta, é possível traçar muitas paralelas à reta dada, demonstrou, a partir desse “fato”, que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor do que 180o. Riemann, por sua vez, partiu do “fato” de que por um ponto fora de uma reta não é possível traçar qualquer paralela à reta dada; obteve como conseqüência desse postulado que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre maior do que 180o. A questão que se coloca, naturalmente, é a seguinte: qual dos sistemas descreve o que de fato ocorre na realidade? Seria o espaço descrito adequadamente pelo sistema euclidiano? Ou haveria lugar para especulações aparentemente estapafúrdias, como as de Lobachevsky e Riemann? Qual o verdadeiro valor da soma dos ângulos internos de um triângulo? Sabe-se, por exemplo, que a ânsia por uma resposta a tal questão fez com que Gauss imaginasse uma experiência crucial, na qual seriam medidos os ângulos de um enorme triângulo formado pelos picos de três montanhas, situadas em Brocken, Inselberg e Hoher Hagen, respectivamente. O resultado indicaria se o espaço comporta-se euclidianamente (soma igual a 180o), ou segundo a concepção de Lobachevsky (soma menor do que 180o), ou ainda segundo as idéias de Riemann (soma maior do que 180o). Tal experiência, no entanto, não teria mínima possibilidade de ser conclusiva, uma vez que os instrumentos de medida de ângulos seriam decididamente imprecisos e não suficientemente capazes de detectar qualquer diferença significativa nos resultados, na comparação intentada. Apesar de absolutamente inócua, a experiência de pensamento proposta por Gauss conduz-nos ao ponto que realmente interessa discutir aqui, e já esboçado no segundo parágrafo deste texto: a geometria diz respeito a medidas, relações e representações da Terra; quando se alteram tais representações, é natural que se alterem as medidas realizadas. A impressão de que a substituição do postulado das paralelas pelas variantes de Lobachevsky ou de Riemann não teria passado de uma decorrência de um mero jogo formal, onde uma regra é trocada pela sua negação com a simples motivação de se observar até onde se chega no desenvolvimento das conseqüências lógicas, em sentido abstrato, não passa de uma aparência enganadora e inverossímil. Quem pensa efetivamente que, por um ponto fora de uma reta, não é possível traçar qualquer reta paralela à reta dada, ou então que é possível traçar muitas retas paralelas distintas é um maluco inconseqüente, ou tem problemas de visão, ou então, não sabe o que é uma reta. . Esta parece, sem dúvida, a hipótese mais plausível. De fato, a suposição de que a idéia de reta é um conceito primitivo, a ser intuído diretamente a partir da realidade concreta é profundamente enganadora. Parece simples associar a reta ao caminho mais curto entre dois pontos; entretanto, a compreensão do que significa “caminho mais curto” depende essencialmente da representação do espaço que vigora. Basta lembrarmos, por exemplo, que até cerca de 5 ou 6 séculos antes de Cristo a Terra foi considerada plana; em sua superfície podiam ser traçadas muitas “retas”. Quando se pensa na Terra como um amplo plano que, apesar de imenso, é finito, terminando em algum tipo de borda, a suposição de Lobachevsky sobre a existência de muitas paralelas a uma dada reta, por um ponto situado fora dela, torna-se bastante natural: paralela seria uma reta que não encontra a reta dada pelo simples fato de que o “mundo” termina antes de viabilizar um tal encontro. Por outro lado, as “retas” que traçamos sobre a superfície da Terra, desde o momento em que aceitamos sua forma esférica, constituem, na realidade, arcos de circunferência; as curvas que traduzem as menores distâncias entre dois pontos situados sobre uma superfície esférica são circunferências máximas, com raio igual ao da esfera. Assim, como duas circunferências máximas traçadas sobre uma superfície esférica sempre se encontram em dois pontos (diametralmente opostos), então, por um ponto fora de uma “reta” não existe qualquer reta que nunca encontre a reta dada, ou seja, não existem paralelas à reta dada, e assim vigora a hipótese de Riemann. Existem outras maneiras de conceber uma reta, associando-a, por exemplo, à trajetória de um raio de luz, mas como se verá a seguir, as dificuldades com relação à definição sobre a natureza do espaço permanecem inalteradas, ou até mesmo aumentam. De fato, se por “linha reta” compreende-se “o caminho seguido pela luz”, alguns resultados que conduziriam à Física relativística, formulada por Einstein em 1905 mas vislumbrado mais ou menos tacitamente em trabalhos como os de Riemann ou Poincaré muito antes da explicitação einsteiniana, então concluímos que para saber o que é uma reta é preciso conhecer o modo como as matérias distribuem-se no espaço, uma vez que disso depende o caminho a ser percorrido pela luz. Lembremo-nos de como a visão nos engana a respeito do que ocorre com uma vara parcialmente imersa na água: a aparência é a de uma quebra, ou de uma mudança de direção, quando o raio de luz passa de um meio para outro. Analogamente, como a luz é energia, podendo ser associada a certa massa pela célebre equação E = mc2, então ao passar próximo a uma grande concentração de massa, a luz seria como que atraída pela mesma, desviando-se do que consideraríamos seu caminho natural, uma reta em sentido euclidiano. Para ilustrar tal fato, Einstein propôs uma experiência de pensamento, impossível de ser realizada no início do século XX, que, segundo acreditada, comprovaria o fato de que aquilo que consideramos uma linha reta depende efetivamente da distribuição de matérias no Universo. Afirmou que, numa viagem de ida e volta entre a Terra e Marte, um raio de luz sofreria um pequeno desvio, um certo encurvamento, quando o Sol estivesse suficientemente próximo do que seria a trajetória retilínea “natural”, uma vez que a grande massa solar atrairia tal raio. Einstein chegou mesmo a calcular o atraso que o raio de luz sofreria em tal viagem: cerca de 2 milionésimos de segundo! Tudo isso parecia restrito ao plano teórico, sem possibilidades tecnológicas de realização concreta, mas eis que em 1977, estando a nave Pioneer em Marte e o Sol localizado próximo ao segmento retilíneo que ligaria Marte à Terra, foi possível enviar-se um raio de luz (uma radiação com comprimento de onda adequado), que refletiu em um aparelho situado na referida nave e retornou à Terra. Calculado o tempo do percurso, foi confirmado o atraso previsto por Einstein mais de 70 anos antes: 0,000 002s. Ou seja, apesar de, aos nossos olhos de simples mortais, a luz haver percorrido uma linha “reta”, ela, sem dúvida, encurvara-se ao escolher o caminho mais “curto” para atingir seu objetivo, em decorrência do modo como a matéria se distribui ao longo de seu percurso. Na verdade, da representação da Terra como um grande plano, passamos a pensar em sua superfície como a de uma esfera. Durante muito tempo, imaginou-se que tal esfera estaria situada no centro do Universo; desde o início do século XVI, tornou-se claro que ela girava em torno do Sol, que, por sua vez, é apenas uma pequena estrela em meio a uma miríade de outras de magnitudes muito mais impressionantes. O modo como essas matérias estão distribuídas no espaço constitui um enorme mistério, é ainda uma questão absolutamente não resolvida. Se esse espaço imenso assemelha-se a um grande plano, que se estende indefinidamente para todos os lados, ou a uma região circular, limitada, com bordas intransponíveis, ou ainda se tal espaço é mais parecido com uma superfície esférica, enorme mas também limitada, eis o tipo de questão que subjaz à escolha do modelo de geometria mais adequado para descrevê-lo: a geometria euclidiana (espaço como um plano, infinito), a de Lobachevsky (espaço como um círculo, finito) ou a de Riemann (espaço como uma superfície esférica, finito). No caso das mudanças conceituais associadas ao aparecimento da Física relativística, parece claro que o que estava em jogo era uma nova compreensão dos conceitos primitivos envolvidos. Na Física de Einstein, o tempo e o espaço são concebidos de modo distinto do newtoniano, deixando de serem considerados de modo absoluto, e passando a depender das velocidades envolvidas, o que conduziu a resultados estranhos mas de maneira alguma ilógicos. E para deslocamentos com velocidades pequenas comparadas com a da luz no vácuo (c = 300 000 km/s), os sistemas newtoniano e einsteiniano são perfeitamente compatíveis, não havendo qualquer necessidade de incorporação aos cálculos de fatores de correção. De modo análogo, para pequenas dimensões comparadas com o raio da Terra, não é necessário fazermos quaisquer escolhas sobre o modelo de geometria a ser utilizado: Euclides, Lobachevsky e Riemann conduzem a resultados similares: a soma dos ângulos internos de um pequeno triângulo, por exemplo, será praticamente 180o nos três casos. De modo geral, no entanto, se soltamos a imaginação no espaço sideral, ou se enviamos uma nave da Terra para Marte, precisamos pensar na natureza do espaço e do tempo, ou pequenos desvios poderão conduzir a grandes erros. No fundo, a idéia de reta é inteiramente solidária ao modo como concebemos o espaço e é a partir dela que emergem os diversos modelos geométricos para sua representação, associados, naturalmente, a relações métricas peculiares a cada modelo. E tudo o que podemos afirmar com segurança sobre uma reta, é que uma reta, é uma reta, é uma reta. . Referências Bibliográficas
BOYER, Carl B., História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1974.
COURANT, Richard e Robbins, Herbert. Qué es la Matemática? 5ed. Madrid: Aguilar, 1967.
DUNCAN, Ronald e WESTON-SMITH, Miranda. La Enciclopedia de la Ignorancia. México: Fondo de
EUCLIDES. Elementos de Geometria. São Paulo: Edições Cultura, 1945. FREUDENTHAL, Hans. Perspectivas da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 1975. KLINE, Morris. Matemáticas para los Esudiantes de Humanidades. México: Fondo de Cultura Economica, KNEEBONE, G.T., Mathematical logic and the foundations of mathematics. Nova Iorque: Van Nostrand, LÉNÁRT, István. Non-Euclidian adventures on the Lérnárt sphere. Berkeley: Key Curriculum Press, MACHADO, Nílson José. Matemática e Realidade. 5ed. São Paulo: Cortez, 2001. MACHADO, Nílson José (org.). Atividades de Geometria. São Paulo: Atual, 1996. MACHADO, N. J. , CUNHA, M. O. (orgs.)– Linguagem, conhecimento, ação. São Paulo: Escrituras, 2003 PETIT, Jean-Pierre. Os Mistérios da Geometria – As Aventuras de Anselmo Curioso. Lisboa: POINCARÉ, Henri. A Ciência e a Hipótese. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1984. SANTOS, Douglas. A Reinvenção do Espaço. São Paulo: Unesp, 2002. SMOGORZHEVSKI, A.S. Acerca de la Geometria de Lobachevski. 2ed. Moscow: Editorial MIR, 1984.

Source: http://www.nilsonjosemachado.net/lca14.pdf